Deze piramide bestaat uit vier gelijkzijdige driehoeken. De oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek wordt gegeven door de formule:
O = √3 * s^2 / 4
Waar:
- O is de oppervlakte van de driehoek
- s is de lengte van een zijde van de driehoek
In dit geval is s de lengte van een zijkant van het vierkant grondvlak van de piramide. De oppervlakte van het grondvlak is dus:
O_g = s^2
De totale oppervlakte van de piramide is gelijk aan de som van de oppervlakten van de vier zijvlakken en het grondvlak. De oppervlakte van een zijvlak is gelijk aan de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek, dus:
O_s = √3 * s^2 / 4
De totale oppervlakte van de piramide is dus:
O_t = 4 * √3 * s^2 / 4 + s^2
O_t = √3 * s^2 + s^2
O_t = (√3 + 1) * s^2
De lengte van een zijkant van de piramide kan worden gevonden met behulp van de formule voor de inhoud van een piramide:
V = 1/3 * h * B
Waar:
- V is de inhoud van de piramide
- h is de hoogte van de piramide
- B is de oppervlakte van het grondvlak
In dit geval is V gelijk aan 1/3 van het volume van een vierkant, dus:
V = 1/3 * s^3
De oppervlakte van het grondvlak is gelijk aan s^2, dus:
O_g = s^2
We kunnen deze twee formules combineren om de lengte van een zijkant van de piramide te vinden:
1/3 * s^3 = 1/3 * h * s^2
s^3 = h * s^2
s^3 - h * s^2 = 0
s^2 (s - h) = 0
Deze vergelijking heeft twee oplossingen:
- s = 0
- s = h
Aangezien de lengte van een zijkant van een piramide niet nul kan zijn, is de enige mogelijke oplossing s = h. Dit betekent dat de hoogte van de piramide gelijk is aan de lengte van een zijkant van het grondvlak.
We kunnen nu de totale oppervlakte van de piramide berekenen:
O_t = (√3 + 1) * s^2
O_t = (√3 + 1) * h^2
Dus, als deze piramide bestaat uit vier gelijkzijdige driehoeken, is de totale oppervlakte van de piramide gelijk aan:
(√3 + 1) * h^2
Dit is de antwoordoptie (9).